一元三次函数有什么性质

一元三次函数性质总结

一元三次函数的图像和性质三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。它具有以下性质：

1. 图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：

2. 零点个数若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i）当时，有一个零点；（ii）当时，有两个零点；（iii）当时，有三个零点。

3. 对称中心三次函数一定有对称中心。其对称中心的横坐标为。（三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象的对称中心在其导函数f(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点）4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数 三次函数的三大性质初探 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性 三次函数,(1) 若，则在上为增函数；(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明 , =，(1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (2) 当 即时，解方程，得 或 在和上为增函数.在上为减函数.由上易知以下结论: 三次函数,(1) 若，则在R上无极值；(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.2 根的性质三次函数(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论：三次函数在上恒正的充要条件是(mx2),或且(m<x2) .3 对称性三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.证2 设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,由上又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明 的图象关于对称，则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明 图象关于直线对称，则， ， 图象关于点对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的. 【常用结论】1 （重点）三次函数的单调性由a来决定；b、c决定函数有没有极值。